la clasificación de funciones por su forma algebraica o trascendental se refiere a cómo está expresada la función matemática, y esto puede tener implicaciones en su comportamiento y propiedades.

La clasificación de funciones por su simetría se basa en cómo se comporta una función en relación a un eje o punto de simetría. En particular, una función puede ser clasificada como par, impar o ninguna de las dos, dependiendo de su simetría.

• Una función es par si satisface la propiedad f(-x) = f(x) para cualquier valor de x en su dominio. En términos gráficos, esto significa que la función es simétrica respecto al eje vertical que pasa por el origen de coordenadas.
• Por otro lado, una función es impar si satisface la propiedad f(-x) = -f(x) para cualquier valor de x en su dominio. En términos gráficos, esto significa que la función es simétrica respecto al punto (0,0).
• Si una función no satisface ninguna de las dos propiedades anteriores, entonces no es ni par ni impar. En este caso, su gráfica no tiene simetría especial respecto a un eje o punto.

Es importante destacar que la clasificación de una función como par o impar se refiere únicamente a su simetría y no necesariamente a su comportamiento o propiedades matemáticas.

La clasificación de funciones por la expresión de la variable se refiere a cómo se expresa la variable dependiente en términos de la variable independiente. En particular, una función puede ser clasificada como explícita o implícita.

• Función explícita: una función es explícita si su variable dependiente está escrita explícitamente en términos de la variable independiente. Es decir, la variable dependiente se puede expresar como una función directa de la variable independiente. Por ejemplo, la función $f(x) = x^2$ es explícita, ya que la variable dependiente $(y = f(x) )$ se puede escribir directamente en términos de la variable independiente $(x)$.
• Función implícita: una función es implícita si su variable dependiente no está escrita explícitamente en términos de la variable independiente. En este caso, puede haber una relación entre ambas variables que no se puede despejar fácilmente. Por ejemplo, la ecuación $x^2 + y^2 = 1$ define una función implícita, ya que no es posible expresar la variable dependiente $(y)$ en términos de la variable independiente $(x)$ de manera directa.

Es importante tener en cuenta que aunque una función pueda ser definida como implícita, es posible que exista una expresión explícita que la represente en ciertos intervalos o regiones de su dominio. Por lo tanto, la clasificación de una función como explícita o implícita se refiere únicamente a cómo se expresa inicialmente la relación entre ambas variables.

En matemáticas, una función se dice continua en un punto si la imagen de la función en dicho punto no se "rompe" o "salta" cuando se aproxima al punto. De manera más formal, una función $$f(x)$$ es continua en un punto $$x_0$$ si se cumple que:

• El límite de la función cuando $$x$$ se aproxima a $$x_0$$ existe y es finito, es decir, $$\lim_{x \to x_0} f(x)$$ existe y es un número real.
• El valor de la función en el punto $$x_0$$ es igual al límite de la función cuando $$x$$ se aproxima a $$x_0$$, es decir, $$f(x_0)=\lim_{x \to x_0} f(x)$$ .

En otras palabras, una función es continua en un punto si el valor de la función en el punto se puede obtener tomando el límite de la función en ese punto, y si el límite de la función existe y es finito. Además, una función se dice continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo. Una función se dice continua en todo su dominio si es continua en cada punto de su dominio.

La monotonía de una función se refiere a la tendencia que tiene la función de aumentar o disminuir en su recorrido. Una función se considera monótona si mantiene una misma tendencia o de crecimiento o de decrecimiento en todo su dominio.

Existen dos tipos de monotonía: monotonía creciente y monotonía decreciente.

• Una función es monótona creciente si para cualquier valor $$x_1$$ y $$x_2$$ del dominio de la función, si $$x_1<x_2$$, entonces $$f(x_1) \leq f(x_2)$$ .
• Una función es monótona decreciente si para cualquier valor $$x_1$$ y $$x_2$$ del dominio de la función, si $$x_1<x_2$$, entonces $$f(x_1) \geq f(x_2)$$ .